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2014年8月23日 (土)

完全版 テンパズル (10puzzle) 全問題 全解答一覧

(全体の目次はこちら


完全版 テンパズル (10puzzle) 全問題 全解答一覧

- 特殊表記の導入でスッキリ -

 

以前、NexusのCMを見て思い出した
【10puzzle 「おもしろい問題」って?】を書いた。

「与えられた4つの数字を使って四則演算だけで10を作る」
という簡単なルールのパズルだが、
やってみるとなかなか奥が深い。

(このパズル、前にも書いた通り「テンパズル」とか
 「10 puzzle」とか「make 10」とか「メイクテン」とか
 「Ten Puzzle」とか、いろいろな名前で呼ばれているようだが、
 コレという統一した呼び名がないようなので、
 今回もここでは「10puzzle」を使っていくことにする)

さて、前に書いた時は、いくつかの問題を提示はしたものの、
「自分で考えて解く」ことの面白さを共有できないものか、
と考えてあえて解は添えなかった。

 

ところが、ページを公開して以来、
「10puzzleの解を求めての訪問」と思われる方が、
思いのほか多い。

もちろん、どなたがいらっしゃっているのかはわからないが、
検索による訪問の場合は、
「検索ワード」を参照することができる。
見ると、問題となる数字の他に、
「解」や「解法」に関わる言葉が多く含まれており、
「答えを探しに来たのかなぁ?」と思わずにはいられない。

ちょっと気になって、逆にこちらでも検索してみたが、
数字の入力に対して解を表示してくれるページはあるものの
「解の一覧表」のようなものはどこにもない。

探している人がいる、でもどこにもない。
だったら作ってみようじゃないか!

 

まずは全体を整理しながら話を進めていこうと思う。

 

(AA) 全問題数 715

10puzzleは、数字の順番に意味はないため、
【0001】【0010】【0100】と【1000】などは同じ問題となる。
そういった重複を除いた場合、

【0000】から【9999】まで
4つの数字の組合せは全部で715組になる。
これがテンパズル (10puzzle) の全問題数

今後は、解の一覧表も含めて、
4つの数字を小さい順に並べた組で考えていくことにする。

 

(BB) 完全総当り 7680通り

10puzzleは
「AとBを足して、それをC倍してDを引く・・・(((A+B)*C)-D)」
と言った言い方で計算値が10になる式を見つけるパズルだが、
総当り的にすべての組合せを計算しようと思ったら、
いったどれくらいの組合せがあるのだろうか。

4つの数字【ABCD】を使った四則演算だけを考えた場合、
<+>を代表演算子として書くと、
計算順序(かっこの付け方)は全部で次の5通りしかない。

    (((A+B)+C)+D) 
    ((A+(B+C))+D) 
    (A+((B+C)+D)) 
    (A+(B+(C+D))) 
    ((A+B)+(C+D)) 

各式を見ると、
演算子の入る場所が3箇所で
そこにそれぞれ4種類の演算子が入り得るので、
   4*4*4 = 64 通り。

これが5種あるので、
   64*5 = 320
ABCDの並び順は、
   4P4 = 4*3*2*1 = 24
よって、      
   320*24 = 7680

つまり、ひとつの問題(一組の数字の組合せ)に対して、
数学的に等価かどうかは一切考慮せずにベタで並べても
その計算方法は全部で7680通りしかない。
(手動で計算することはとてもできないが、
 今のPCなら一瞬で計算できるレベルだ)

もちろん、

* 総当り戦をやめて、エレガントなアルゴリズムで解く。

* 重複を除く。たとえば
      (((A+B)+C)+D)
      ((A+(B+C))+D)
      (A+((B+C)+D))
      (A+(B+(C+D)))
      ((A+B)+(C+D))
  は、すべて数式的には(A+B+C+D)と同じことになる。

  このような
  「数学的な同一式による重複」を取り除き
  本質的に計算しなければならない式の数を絞り込む。
  結果的には、
  7680通りのパターンはわずか733通りになるらしい。

などにより、ベタな7680通りの総当り戦から
計算量を大幅に減らす途はあるが、
今回はそこがメインの話題ではないので、
全体の計算量には触れずに話を前に進めることにする。

で、

実際に計算して解を求めてみると全715組の問題のうち、

  10になる解が存在するもの :552組
  10になる解が存在しないもの :163組

であることがわかる。

「4つの数字の組の77%には10になる計算式が存在する」

 

あとは
(1+1)*(1+4) と (1+4)*(1+1)のような
同一式を除く簡単なロジックをかませて、
残った解を並べて一覧表にすればいいだけ。
「全解答一覧」は自動的に、かつ簡単に作ることができる、
と思っていた。

ところが、この方法で自動作成された
表を見てみると気に入らない。
もちろん数学的には正しく解けているので
間違っているわけではないのだが「気に入らない」。

どういうことかと言うと...

 

たとえば

【1114】 解の数:1 (1+1)*(1+4)
【1168】 解の数:2 ((1+1)*8)-6 と (8/(1+1))+6

などは問題ない。

では、

【0025】

ならどうだろう。
だれにでもすぐに解は浮かぶはずだ。
しかし、解となる式を機械的に並べていくと...

     ((2*5)+0)+0
     ((2*5)-0)+0
     ((2*5)-0)-0
     (2*5)+(0*0)
     (2*5)-(0*0)
     (5-0)*(2-0)
     (5+0)*(2-0)
     (5+0)*(2+0)
     (5+(0*0))*2
      ・・・

確かにどれも正解だし、式としては等価ではない。
よって、解の一覧表に羅列すべきものなのだが、
並べていくと事実上同じ意味の式が延々と続いていて
見にくいし、そもそも見ていてつまらない。

一見してわかる通り
「核は (2*5) 」で共通、
残りの二つの0は、「全部の数字を1回ずつ使って」という
条件を満たすためだけに
「形式的に」加えられたものにすぎない。

この「形式的に」の解を
うまく分類・整理できないものだろうか。

「解の一覧表」には実質的に意味の異なる式のみを
シンプルに羅列したいのだ。

 

改めて機械的に作った「解の一覧表」を眺めていると、
似た式が増えてしまうのは、直接的であれ間接的であれ、
やはり0と1が絡んだ場合であることがよくわかる。

0は足しても引いても影響がないし、
1は掛けても割っても同じことなので、
挿入場所との組合せで、式の数が急増してしまう。

というわけで、
数学的ではなく、感覚的な分類に近いものではあるが、
次のような特殊なグルーピングを導入することにした。

 

(CC) 整理のロジック  式の分類・整理

+ でも - でもいいときは p
* でも / でもいいときは m

などの特別表記を用いて、
「形式的に」似た式を整理して、
最終的に、主式と副式の表現に落としてしまう。

(実際にはプログラムで実行してしまうので、
 分類のロジックさえ決めてしまえばあとは自動処理だが)

 

【0124】を例に、整理の過程を示す。

問題 一次整理 主式 副式
0124 ((1+0)+4)*2 (1p0+4)*2 (1+4)*2  p0
((1-0)+4)*2
(1+(4+0))*2 (1+4p0)*2
(1+(4-0))*2
(1+4)*(2+0) (1+4)*(2p0)
(1+4)*(2-0)

6個の解の式は、数学的に等価ではないが、

   主式  (1+4)*2
   副式  p0

にまとまってしまう。

(1+4)*2の式を核に、好きなところに
(+0)または(-0)を付けると解になる。

ちょっと乱暴に言ってしまえば、
「好きなように勝手に使って」が副式部分だ

 

こういった「整理のロジック」を4つ(G1-G4)適用した。

グループ パターン 特別表記
p = + or -
m = * or /
# = 商が1
素式の例 特別表記
を使って
主式 副式
G1 +0   と  -0 p0 ((1+1)+8)+0 ((1+1)+8)p0 1+1+8 p0
((1+1)+8)-0
G2 0*◇ と 0/◇ 0m (1+9)+(0*3) (1+9)+(0m3) 1+9 p(0m3)

0m3
(1+9)+(0/3)
(1+9)-(0*3) (1+9)-(0m3)
(1+9)-(0/3)
G3 ◇*1 と ◇/1 m1 ((1+1)+8)*1 ((1+1)+8)m1 1+1+8 m1
((1+1)+8)/1
G4 計算途中で1 (9+(5+3)/8) 9+(5+3)#8 9+(5+3)#8 ---
(9+8/(5+3))

この「整理のロジック」の導入で
「意味の違う式」だけが別式として残るようになり、
「解の一覧表」はかなりスッキリしたものになった。

 

(DD) 整数にならない分数を使う解

「よし、OK!」といよいよ公開しようとしたところ、Up直前、
【1158】や【1199】などを自力で解いた人からよく聞かれる
ある質問を思い出した。

  「途中で、整数にならない分数を使う解って、
   いったいどれくらいあるンでしょうね」

そうそう、このパターンで解けた時は独特な快感がある。
私自身も興味があったので、
この質問についてだけは調べてみることにした。
一覧表のセルに色をつけてみよう。

 

というわけで、いよいよ公開用最終版だ。

 

【完全版 テンパズル (10puzzle) 全問題 全解答一覧】

1. 問題の4つの数字は、「小さい順」に並べた組のみを表示している。
    例 【4231】や【3142】は、【1234】で代表

2.10になる解のない(解けない)問題 ■■灰色■■

3. 特殊表記はこれまでの説明に書いた通り、
    + でも - でもいいときは p
    * でも / でもいいときは m
    商が1になるときは # (A#B = A/B または B/A)

4.「整数にならない割り算」を含む解
    割り切れるもの  ■■黄色■■
    割り切れないもの ■■オレンジ色■■

 

No.

問題 (4つの数字) 主式 副式 分数
1 0000
2 0001
3 0002
4 0003
5 0004
6 0005
7 0006
8 0007
9 0008
10 0009
11 0011
12 0012
13 0013
14 0014
15 0015
16 0016
17 0017
18 0018
19 0019 1+9 p0, p0 : (0*0)
20 0022
21 0023
22 0024
23 0025 2*5 p0, p0 : (0*0)
24 0026
25 0027
26 0028 2+8 p0, p0 : (0*0)
27 0029
28 0033
29 0034
30 0035
31 0036
32 0037 3+7 p0, p0 : (0*0)
33 0038
34 0039
35 0044
36 0045
37 0046 4+6 p0, p0 : (0*0)
38 0047
39 0048
40 0049
41 0055 5+5 p0, p0 : (0*0)
42 0056
43 0057
44 0058
45 0059
46 0066
47 0067
48 0068
49 0069
50 0077
51 0078
52 0079
53 0088
54 0089
55 0099
56 0111
57 0112
58 0113
59 0114
60 0115 (1+1)*5 p0
61 0116
62 0117
63 0118 1+1+8 p0
64 0119 1+9 p0, m1 : m(1p0)
65 0122
66 0123
67 0124 (1+4)*2 p0
68 0125 2*5 p0, m1
2/(1/5) p0 1/5
5/(1/2) p0 1/2
69 0126 (6-1)*2 p0
70 0127 1+2+7 p0
71 0128 2+8 p0, m1 : m(1p0)
72 0129 1+9 0m2
2+9-1 p0
73 0133 3*3+1 p0
74 0134
75 0135 (3-1)*5 p0
76 0136 1+3+6 p0
77 0137 3+7 p0, m1 : m(1p0)
78 0138 3+8-1 p0
79 0139 1+9 0m3
80 0144
81 0145 1+4+5 p0
82 0146 4+6 p0, m1 : m(1p0)
83 0147 4+7-1 p0
84 0148
85 0149 1+9 0m4
86 0155 5+5 p0, m1 : m(1p0)
87 0156 5+6-1 p0
88 0157
89 0158
90 0159 1+9 0m5
91 0166
92 0167
93 0168
94 0169 1+9 0m6
95 0177
96 0178
97 0179 1+9 0m7
98 0188
99 0189 1+9 0m8
100 0199 1+9 0m9
101 0222
102 0223 (2+3)*2 p0
103 0224 2*4+2 p0
104 0225 2*5 0m2
105 0226 2+2+6 p0
2*2+6 p0
6*2-2 p0
106 0227 (7-2)*2 p0
107 0228 2+8 0m2
108 0229 2/2+9 p0
109 0233
110 0234 3*2+4 p0
3*4-2 p0
111 0235 2+3+5 p0
2*5 0m3
112 0236
113 0237 3+7 0m2
114 0238 (8-3)*2 p0
2+8 0m3
115 0239 3+9-2 p0
116 0244 2+4+4 p0
117 0245 2*5 0m4
4*5/2 p0
(4-2)*5 p0
(5/2)*4 p0 5/2
(4/2)*5 p0
4/(2/5) p0 2/5
5/(2/4) p0 2/4
118 0246 4+6 0m2
119 0247 2*7-4 p0
120 0248 2+8 0m4
4/2+8 p0
4+8-2 p0
121 0249 (9-4)*2 p0
122 0255 2*5 0m5
5+5 0m2
123 0256 2*5 0m6
124 0257 2*5 0m7
5+7-2 p0
125 0258 2*5 0m8
2+8 0m5
126 0259 2*5 0m9
127 0266 6+6-2 p0
128 0267 6/2+7 p0
129 0268 2+8 0m6
2*8-6 p0
8/2+6 p0
130 0269
131 0277
132 0278 2+8 0m7
133 0279
134 0288 2+8 0m8
135 0289 2+8 0m9
2*9-8 p0
136 0299
137 0333
138 0334 3+3+4 p0
139 0335
140 0336
141 0337 3+7 0m3
142 0338
143 0339 3/3+9 p0
144 0344
145 0345
146 0346 4+6 0m3
147 0347 3+7 0m4
148 0348
149 0349 4+9-3 p0
150 0355 5*3-5 p0
(5-3)*5 p0
5+5 0m3
151 0356 6*5/3 p0
(5/3)*6 p0 5/3
6/3*5 p0
5/(3/6) p0 3/6
6/(3/5) p0 3/5
152 0357 3+7 0m5
153 0358 5+8-3 p0
154 0359
155 0366
156 0367 3+7 0m6
6+7-3 p0
157 0368 3*6-8 p0
6/3+8 p0
158 0369
159 0377 3+7 0m7
160 0378 3+7 0m8
161 0379 9/3+7 p0
3+7 0m9
162 0388
163 0389
164 0399
165 0444
166 0445
167 0446 4+6 0m4
4*4-6 p0
168 0447
169 0448
170 0449 4/4+9 p0
171 0455 5+5 0m4
172 0456 (6-4)*5 p0
4+6 0m5
173 0457
174 0458 5*8/4 p0
(5/4)*8 p0 5/4
8/4*5 p0
5/(4/8) p0 4/8
8/(4/5) p0 4/5
175 0459 5+9-4 p0
176 0466 4+6 0m6
177 0467 4+6 0m7
178 0468 4+6 0m8
6+8-4 p0
179 0469 4+6 0m9
180 0477 7+7-4 p0
181 0478
182 0479
183 0488 8/4+8 p0
184 0489
185 0499
186 0555 5+5 0m5
187 0556 5+5 0m6
188 0557 (7-5)*5 p0
5+5 0m7
189 0558 5+5 0m8
190 0559 5/5+9 p0
5+5 0m9
191 0566
192 0567
193 0568 (8-6)*5 p0
194 0569 6+9-5 p0
195 0577
196 0578 7+8-5 p0
197 0579 (9-7)*5 p0
198 0588
199 0589
200 0599
201 0666
202 0667
203 0668
204 0669 6/6+9 p0
205 0677
206 0678
207 0679 7+9-6 p0
208 0688 8+8-6 p0
209 0689
210 0699
211 0777
212 0778
213 0779 7/7+9 p0
214 0788
215 0789 8+9-7 p0
216 0799
217 0888
218 0889 8/8+9 p0
219 0899 9+9-8 p0
220 0999 9/9+9 p0
221 1111
222 1112
223 1113
224 1114 (1+1)*(1+4)
225 1115 (1+1)*5 m1
226 1116 (1+1)*(6-1)
227 1117 ((1+1)+1)+7
228 1118 1+1+8 m1
229 1119 1+9 m1, m1
((1+1)+9)-1
230 1122
231 1123 ((1+1)+3)*2
((1+2)*3)+1
(1+1)*(2+3)
232 1124 (1+4)*2 m1
((1+1)*4)+2
((2*4)+1)+1
233 1125 2*5 m1, m1
((1+2)-1)*5
((1+5)-1)*2
((2*5)+1)-1
5/(1-(1/2)) 1/2
234 1126 (6-1)*2 m1
((1+1)+2)+6
((1+1)*2)+6
((1+1)*6)-2
((2*6)-1)-1
235 1127 1+2+7 m1
(7-(1+1))*2
(1+1)*(7-2)
236 1128 2+8 m1, m1
((1+2)+8)-1
237 1129 2+9-1 m1
1+9 m(2-1)
9+(1+1)#2
238 1133 3*3+1 m1
239 1134 ((1+1)*3)+4
((4-1)*3)+1
((3*4)-1)-1
(1+4)*(3-1)
240 1135 (3-1)*5 m1
((1+1)+3)+5
241 1136 1+3+6 m1
(6-1)*(3-1)
242 1137 3+7 m1, m1
((1+3)+7)-1
243 1138 3+8-1 m1
(1+1)*(8-3)
244 1139 (3-(1+1))+9
245 1144 ((1+1)+4)+4
246 1145 1+4+5 m1
(4-(1+1))*5
(4*5)/(1+1)
247 1146 4+6 m1, m1
((1+4)+6)-1
248 1147 4+7-1 m1
((1+1)*7)-4
249 1148 (4-(1+1))+8
((1/4)+1)*8 1/4
(4/(1+1))+8
250 1149 (1+1)*(9-4)
251 1155 5+5 m1, m1
((1+5)+5)-1
252 1156 5+6-1 m1
253 1157 (5-(1+1))+7
254 1158 8/(1-(1/5)) 1/5
255 1159
256 1166 (6-(1+1))+6
257 1167 (6/(1+1))+7
258 1168 ((1+1)*8)-6
(8/(1+1))+6
259 1169
260 1177
261 1178
262 1179
263 1188
264 1189 ((1+1)*9)-8
265 1199 ((1/9)+1)*9 1/9
266 1222 ((1+2)+2)*2
((2*2)+1)*2
267 1223 (2+3)*2 m1
((1+3)*2)+2
((2*3)-1)*2
268 1224 2*4+2 m1
((2+4)-1)*2
((1+2)*2)+4
((1+2)*4)-2
((1/2)+2)*4 1/2
269 1225 2*5 m(2-1)
((1+2)+2)+5
((1+5)*2)-2
((5-1)*2)+2
((2*2)+1)+5
((2/2)+1)*5
270 1226 2+2+6 m1
2*2+6 m1
2*6-2 m1
((1+6)-2)*2
271 1227 (7-2)*2 m1
((2+2)+7)-1
((7-1)*2)-2
((2*2)+7)-1
272 1228 2+8 m(2-1)
(8-(1+2))*2
((2/2)+1)+8
((8/2)+1)*2
273 1229 (2/2)+9 m1
((1+2)+9)-2
((1+9)*2)/2
((2*9)/2)+1
274 1233 ((3+3)-1)*2
((1+3)*3)-2
((2*3)+1)+3
((3*3)+2)-1
(2+3)*(3-1)
275 1234 2*3+4 m1
3*4-2 m1
((2*4)+3)-1
((3-1)*4)+2
((1+2)+3)+4
((3/2)+1)*4 3/2
(3-(1/2))*4 1/2
276 1235 2+3+5 m1
((5-2)*3)+1
((2*3)+5)-1
((5-1)*3)-2
((1+3)*5)/2
((1+3)-2)*5
5/((3/2)-1) 3/2
277 1236 ((3*6)/2)+1
((2+3)+6)-1
((3-1)*6)-2
((2*6)+1)-3
((3-1)*2)+6
((2/3)+1)*6 2/3
(2-(1/3))*6 1/3
278 1237 3+7 m(2-1)
((1+7)-3)*2
((2*7)-1)-3
((3*7)-1)/2
(3-1)*(7-2)
279 1238 (8-3)*2 m1
((1+3)+8)-2
((1+3)/2)+8
280 1239 3+9-2 m1
1+9 m(3-2)
9+(3-1)#2
9+(1+2)#3
(9-(1+3))*2
281 1244 2+4+4 m1
((1+4)*4)/2
((4-1)*4)-2
((4-1)*2)+4
(1+4)*(4-2)
282 1245 (4-2)*5 m1
((2+4)+5)-1
4*5/2 m1
2/(1-(4/5))
5/(1-(2/4))
283 1246 4+6 m(2-1)
((1+6)*2)-4
((6-1)*4)/2
(6-1)*(4-2)
284 1247 2*7-4 m1
((1+4)+7)-2
((4/2)+1)+7
((7/2)-1)*4 7/2
285 1248 4+8-2 m1
4/2+8 m1
((8-1)*2)-4
((1+8)-4)*2
286 1249 (9-4)*2 m1
((4/2)+9)-1
(4-(1+2))+9
287 1255 5+5 m(2-1)
(5-(1+2))*5
((1+2)*5)-5
((5-1)*5)/2
288 1256 ((1+5)+6)-2
((6/2)-1)*5
(5*6)/(1+2)
2/((6/5)-1) 6/5
6/(1-(2/5)) 2/5
289 1257 5+7-2 m1
((1+5)/2)+7
((2*7)+1)-5
290 1258 (5-(1+2))+8
((5-1)/2)+8
((2*8)-1)-5
((8/2)+1)+5
291 1259 ((1+9)-5)*2
((1+9)/2)+5
292 1266 6+6-2 m1
((6/2)+1)+6
293 1267 6/2+7 m1
(6-(1+2))+7
((1+7)*2)-6
((1+7)/2)+6
294 1268 2*8-6 m1
8/2+6 m1
((6/2)+8)-1
(6/(1+2))+8
((1+2)*6)-8
295 1269 ((9-1)*2)-6
((9-1)/2)+6
296 1277 ((7-1)/2)+7
297 1278 ((2*8)+1)-7
((8/2)+7)-1
298 1279 ((2*9)-1)-7
(9/(1+2))+7
299 1288 ((1+8)*2)-8
((2/8)+1)*8 2/8
300 1289 2*9-8 m1
301 1299 ((9+9)/2)+1
((2*9)+1)-9
302 1333 ((1+3)+3)+3
((1/3)+3)*3 1/3
303 1334 3+3+4 m1
((3*4)+1)-3
((3-1)*3)+4
304 1335 ((3+3)+5)-1
((3/3)+1)*5
305 1336 ((6-3)*3)+1
306 1337 ((7/3)+1)*3 7/3
307 1338 ((3/3)+1)+8
(3-1)*(8-3)
308 1339 3/3+9 m1
((1+3)+9)-3
((1+9)*3)/3
((3*9)/3)+1
309 1344 ((3+4)+4)-1
310 1345 ((1+4)-3)*5
((1+4)*3)-5
((3*5)-1)-4
(1+4)*(5-3)
(4*5)/(3-1)
4/(1-(3/5)) 3/5
311 1346 ((1+3)*4)-6
((1+4)*6)/3
312 1347 ((3-1)*7)-4
((7-4)*3)+1
313 1348 ((1+4)+8)-3
(4/(3-1))+8
314 1349 4+9-3 m1
1+9 m(4-3)
9+(4-1)#3
9+(1+3)#4
(3-1)*(9-4)
315 1355 (5-3)*5 m1
3*5-5 m1
((1+5)*5)/3
316 1356 5*6/3 m1
(6-(1+3))*5
((6-1)*3)-5
((3*5)+1)-6
(6-1)*(5-3)
5/(1-(3/6))
317 1357 ((1+5)+7)-3
((7-1)*5)/3
318 1358 5+8-3 m1
((1+5)*3)-8
((1+5)/3)+8
((8-5)*3)+1
(5*8)/(1+3)
319 1359 (5-(1+3))+9
((9/3)-1)*5
320 1366 ((1+6)+6)-3
((6-1)*6)/3
321 1367 6+7-3 m1
((3*6)-1)-7
((6/3)+1)+7
(6/(3-1))+7
322 1368 3*6-8 m1
6/3+8 m1
(6-(1+3))+8
((3-1)*8)-6
((8/3)-1)*6 8/3
(8/(3-1))+6
323 1369 ((9-6)*3)+1
((3*6)+1)-9
((9/3)+1)+6
((6/3)+9)-1
324 1377 (7-(1+3))+7
((3/7)+1)*7 3/7
325 1378 ((1+8)/3)+7
((7-1)*3)-8
((7-1)/3)+8
326 1379 9/3+7 m1
327 1388 (8/(1+3))+8
328 1389 ((3-1)*9-8
((9/3)+8)-1
329 1399
330 1444
331 1445 ((4*4)-1)-5
((4/4)+1)*5
332 1446 4*4-6 m1
((6/4)+1)*4 6/4
(1+4)*(6-4)
333 1447 ((4*4)+1)-7
334 1448 ((1+4)*8)/4
((4/4)+1)+8
335 1449 4/4+9 m1
((1+4)+9)-4
((1+9)*4)/4
((4*9)/4)+1
336 1455 ((1+5)-4)*5
((4-1)*5)-5
337 1456 (6-4)*5 m1
((5-1)*4)-6
(5*6)/(4-1)
5/((6/4)-1)
338 1457 (7-(1+4))*5
((1+7)*5)/4
(1+4)*(7-5)
4/((7/5)-1) 7/5
339 1458 5*8/4 m1
((1+5)+8)-4
5/(1-(4/8)) 4/8
340 1459 5+9-4 m1
1+9 m(5-4)
9+(1+4)#5
9+(5-1)#4
((9-1)*5)/4
((4*5)-1)-9
341 1466 ((6*6)/4)+1
((4/6)+1)*6 4/6
(6-1)*(6-4)
342 1467 ((1+6)+7)-4
343 1468 6+8-4 m1
((4-1)*6)-8
((6-1)*8)/4
(1+4)*(8-6)
(6/(4-1))+8
344 1469 (6-(1+4))+9
((9/6)+1)*4 9/6
345 1477 7+7-4 m1
346 1478 (7-(1+4))+8
((1+7)/4)+8
((8/4)+1)+7
347 1479 (1+4)*(9-7)
(9/(4-1))+7
348 1488 8/4+8 m1
349 1489 ((9-1)/4)+8
((8/4)+9)-1
((9/4)-1)*8 9/4
350 1499
351 1555 ((5/5)+1)*5
352 1556 ((1+6)-5)*5
353 1557 (7-5)*5 m1
354 1558 (8-(1+5))*5
((5/5)+1)+8
(5*8)/(5-1)
355 1559 5/5+9 m1
((1+5)+9)-5
((1+9)*5)/5
((5*9)/5)+1
356 1566 ((6/6)+1)*5
357 1567 ((1+7)-6)*5
(6-1)*(7-5)
358 1568 (8-6)*5 m1
((1+6)+8)-5
6/((8/5)-1) 8/5
359 1569 6+9-5 m1
1+9 m(6-5)
9+(6-1)#5
9+(1+5)#6
(9-(1+6))*5
5/((9/6)-1)
360 1577 ((1+7)+7)-5
((7*7)+1)/5
((7/7)+1)*5
361 1578 7+8-5 m1
((1+8)-7)*5
362 1579 (9-7)*5 m1
(7-(1+5))+9
363 1588 (8-(1+5))+8
((8/8)+1)*5
(8/(5-1))+8
364 1589 ((1+9)-8)*5
((1+9)/5)+8
8/((9/5)-1)
365 1599 ((9/9)+1)*5
366 1666
367 1667
368 1668 ((6/6)+1)+8
(6-1)*(8-6)
369 1669 6/6+9 m1
((1+6)+9)-6
((1+9)*6)/6
((6*9)/6)+1
((6/9)+1)*6 6/9
370 1677
371 1678 ((1+7)+8)-6
372 1679 7+9-6 m1
1+9 m(7-6)
9+(1+6)#7
9+(7-1)#6
(6-1)*(9-7)
373 1688 8+8-6 m1
374 1689 (8-(1+6))+9
375 1699
376 1777
377 1778 ((7/7)+1)+8
378 1779 7/7+9 m1
((1+7)+9)-7
((1+9)*7)/7
((7*9)/7)+1
379 1788 ((1+8)+8)-7
380 1789 8+9-7 m1
1+9 m(8-7)
9+(1+7)#8
9+(8-1)#7
381 1799 (9-(1+7))+9
382 1888 ((8/8)+1)+8
383 1889 8/8+9 m1
((1+8)+9)-8
((1+9)*8)/8
((8*9)/8)+1
384 1899 1+9 m(9-8)
9+9-8 m1
9+(9-1)#8
9+(1+8)#9
((9/9)+1)+8
((9*9)-1)/8
385 1999 9/9+9 m1
((1+9)+9)-9
((1+9)*9)/9
((9*9)/9)+1
386 2222 ((2+2)*2)+2
((2*2)*2)+2
387 2223 ((2+2)*3)-2
((2*3)+2)+2
((2*2)*3)-2
(2*2)+(2*3)
388 2224 ((2+2)+2)+4
((2+4)*2)-2
((2*2)+2)+4
((2/2)+4)*2
389 2225 ((2+2)-2)*5
((2*2)-2)*5
((2+2)*5)/2
((2*2)*5)/2
((2*5)+2)-2
((2+5)-2)*2
390 2226 ((6-2)*2)+2
((6/2)+2)*2
((2/2)-6)*2
391 2227 ((2*7)-2)-2
((2/2)+2)+7
(2*7)-(2*2)
392 2228 ((2*8)/2)+2
((2+2)+8)-2
((2*2)+8)-2
((8-2)*2)-2
((2+8)*2)/2
((2+2)/2)+8
((2*2)/2)+8
393 2229 (9-(2+2))*2
((2*9)+2)/2
(9-(2*2))*2
(2-(2/2))+9
394 2233 ((3+3)*2)-2
((2+2)+3)+3
((2*2)+3)+3
(3*3)+(2/2)
395 2234 ((3+4)-2)*2
((2+3)*4)/2
((2*4)-3)*2
((4/2)+3)*2
(2+3)*(4-2)
396 2235 2*5 m(3-2)
(3-(2/2))*5
5/(2-(3/2))
397 2236 ((2+6)-3)*2
((6-2)*3)-2
((2*3)+6)-2
((3*6)+2)/2
((2/2)+3)+6
398 2237 ((2+3)+7)-2
((3+7)*2)/2
((7-3)*2)+2
((2*3)/2)+7
((2*7)/2)+3
399 2238 2+8 m(3-2)
((3*8)/2)-2
(3-(2/2))+8
(2*8)-(2*3)
(2*3)+(8/2)
400 2239 ((2+2)+9)-3
((9-3)*2)-2
((2*2)+9)-3
((9/3)+2)*2
401 2244 ((2*4)+4)-2
((4*4)/2)+2
((4-2)*4)+2
((2/4)+2)*4 2/4
(2*4)+(4/2)
402 2245 ((2+5)*2)-4
((5-2)*4)-2
((5-2)*2)+4
((2/2)+4)+5
403 2246 ((4-2)*6)-2
((2+4)+6)-2
((4*6)/2)-2
((4+6)*2)/2
((2*6)/2)+4
((2*6)+2)-4
((2*4)/2)+6
((4-2)*2)+6
((4/2)+2)+6
((2*2)*4)-6
((2+2)*4)-6
(2*6)-(4/2)
404 2247 ((2+7)-4)*2
(7-(4/2))*2
((7-2)*4)/2
((2+4)/2)+7
(4-(2/2))+7
(7-2)*(4-2)
405 2248 ((8-4)*2)+2
((2*8)+4)/2
((2*8)-2)-4
((8/2)+2)+4
406 2249 9+(4-2)#2
9+(2+2)#4
9+(2*2)#4
((9-2)*2)-4
((9/2)-2)*4 9/2
((4/2)/2)+9
(2*9)-(2*4)
407 2255 ((2+5)+5)-2
((5+5)*2)/2
((2*5)-5)*2
((2*5)/2)+5
5/((5/2)-2) 5/2
408 2256 (6-(2+2))*5
((6-2)*5)/2
(6-(2*2))*5
((6/2)+2)+5
(5-(2/2))+6
409 2257
410 2258 ((2+8)-5)*2
((2+8)/2)+5
((5*8)/2)/2
((8/2)-2)*5
(5*8)/(2+2)
411 2259 (5-(2+2))+9
((9-5)*2)+2
(5-(2*2))+9
2/(2-(9/5))
412 2266 ((2+6)*2)-6
((2+6)/2)+6
(2-(2/6))*6 2/6
413 2267 ((2*7)+2)-6
((2*7)+6)/2
((2*6)-7)*2
414 2268 (8-(6/2))*2
((2*6)+8)/2
(6-(2+2))+8
((6-2)/2)+8
(6-(2*2))+8
415 2269 ((2+9)-6)*2
((2*9)-2)-6
((6/2)+9)-2
416 2277 (7-(2+2))+7
(7-(2*2))+7
417 2278 ((2+7)*2)-8
((8-2)/2)+7
(2*7)-(8/2)
418 2279 ((7+9)/2)+2
((2*7)-9)*2
419 2288 ((8+8)/2)+2
((8/2)+8)-2
((8/2)/2)+8
(8/(2+2))+8
((2*8)+2)-8
420 2289 (9-(8/2))*2
421 2299 ((2+9)+9)/2
422 2333 ((3*3)+3)-2
423 2334 ((3*3)-4)*2
((3/3)+4)*2
((4/3)+2)*3 4/3
(4-(2/3))*3 2/3
424 2335 ((3+5)-3)*2
((2*5)+3)-3
((3*5)-2)-3
((2*3)*5)/3
((2+3)*3)-5
((2+3)-3)*5
(2+3)*(5-3)
425 2336 ((3+3)+6)-2
((2+3)*6)/3
((2/6)+3)*3 2/6
((6/3)+3)*2
(6-(3/3))*2
426 2337 3+7 m(3-2)
((2*3)+7)-3
((3+3)/2)+7
((3/3)+2)+7
((7-3)*3)-2
427 2338 ((3*8)/3)+2
((8/2)+3)+3
((2+3)+8)-3
((2*8)-3)-3
((2+8)*3)/3
((2*3)/3)+8
((2*3)*3)-8
428 2339 (2-(3/3))+9
429 2344 ((4+4)-3)*2
((4-2)*3)+4
((3*4)/2)+4
((3+4)*2)-4
((3*4)+2)-4
(3-(2/4))*4 2/4
(4-(3/2))*4 3/2
(4*4)-(2*3)
(3*4)-(4/2)
430 2345 2*5 m(4-3)
((5-3)*4)+2
((3+4)+5)-2
((2*4)+5)-3
((2+4)*5)/3
((4/2)+3)+5
((2*3)-4)*5
431 2346 4+6 m(3-2)
((3+6)-4)*2
((6-3)*4)-2
((4*6)/3)+2
((6-3)*2)+4
((6/2)+3)+4
((3/6)+2)*4 3/6
(2+3)*(6-4)
(3*6)-(2*4)
(2*4)+(6/3)
432 2347 ((2+4)+7)-3
((4*7)+2)/3
((3*4)-7)*2
433 2348 2+8 m(4-3)
((8-4)*3)-2
((8/4)+3)*2
((8-3)*4)/2
((3*4)+8)/2
((3*8)-4)/2
((4*8)-2)/3
((2*3)+8)-4
((2+3)*8)/4
((2+4)/3)+8
((2+4)*3)-8
(2-(3/4))*8 3/4
(4-2)*(8-3)
434 2349 ((2+3)+9)-4
((3+9)/2)+4
((2*9)/3)+4
((4*9)/3)-2
(3-(4/2))+9
435 2355 5+5 m(3-2)
((3*5)+5)/2
5/(3-(5/2)) 5/2
436 2356 ((5-3)*6)-2
((2+5)+6)-3
((2*6)+3)-5
((3+5)/2)+6
((5-3)*2)+6
((3+5)*2)-6
437 2357 ((3+7)-5)*2
((7-3)*5)/2
((3+7)/2)+5
((7-2)*3)-5
(7-(2+3))*5
((3*5)+2)-7
(2+3)*(7-5)
(7-2)*(5-3)
5/((7/2)-3) 7/2
438 2358 ((8-2)*5)/3
(8-(2*3))*5
439 2359 9+(2+3)#5
9+(5-2)#3
9+(5-3)#2
((9-5)*3)-2
((5+9)/2)+3
((9/3)+2)+5
((2*3)+9)-5
((2*9)-3)-5
440 2366 ((3*6)-2)-6
((2*6)/3)+6
((6*6)/3)-2
((6/3)+2)+6
(2*6)-(6/3)
441 2367 ((7-2)*6)/3
(7-(6/3))*2
442 2368 ((3+8)-6)*2
((3+6)*2)-8
((6+8)/2)+3
((8/6)+2)*3 8/6
(2+3)*(8-6)
443 2369 (6-(2+3))+9
((6+9)*2)/3
((2*3)/6)+9
(2-(3/9))*6 3/9
((6/2)/3)+9
444 2377 ((2+7)/3)+7
((7+7)/2)+3
((2*7)+3)-7
445 2378 (7-(2+3))+8
((7+8)*2)/3
((7-3)/2)+8
(3*8)-(2*7)
446 2379 ((3+9)-7)*2
((3*9)-7)/2
((9-3)/2)+7
(7-(2*3))+9
((3*7)-2)-9
(2+3)*(9-7)
447 2388 ((8-2)*3)-8
((8-2)/3)+8
(8-(2*3))+8
448 2389 ((3+8)+9)/2
((2*8)+3)-9
((8/2)+9)-3
(8-(9/3))*2
449 2399 ((9/3)+9)-2
450 2444 ((4+4)+4)-2
((4*4)+4)/2
((4*4)-2)-4
((4/2)+4)+4
((4/4)+4)*2
451 2445 ((4+5)-4)*2
((2*5)+4)-4
((2*4)*5)/4
(4-(4/2))*5
((2+4)-4)*5
(4*5)/(4-2)
452 2446 ((6-4)*4)+2
((4*6)-4)/2
(6-(4/4))*2
((2*4)+6)-4
((4+4)/2)+6
((4+4)*2)-6
453 2447 ((4-2)*7)-4
((7-4)*4)-2
((7-4)*2)+4
((4*7)/2)-4
((4/4)+2)+7
454 2448 ((4*8)/4)+2
((2+4)+8)-4
((2+8)*4)/4
((4+8)/2)+4
((4/8)+2)*4 4/8
((4*4)+2)-8
((2*4)/4)+8
(4-(4/2))+8
(4/(4-2))+8
(2*4)+(8/4)
455 2449 ((9-4)*4)/2
((2*9)-4)-4
(2-(4/4))+9
(4-2)*(9-4)
456 2455 2*5 m(5-4)
((5/5)+4)*2
(5-(5/2))*4 5/2
(4*5)-(2*5)
457 2456 ((4+6)-5)*2
((2+6)*5)/4
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((2*4)-6)*5
5/(2-(6/4)) 6/4
458 2457 ((7-5)*4)+2
((5+7)/2)+4
((2+5)+7)-4
((2*4)+7)-5
(5-(4/2))+7
5/(4-(7/2)) 7/2
459 2458 2+8 m(5-4)
((8-5)*4)-2
((8-4)*5)/2
((8-5)*2)+4
(8-(2+4))*5
((4+5)*2)-8
((4*5)-2)-8
4/(2-(8/5)) 8/5
460 2459 ((2+4)+9)-5
5/((9/2)-4)
461 2466 ((6-4)*6)-2
((6/6)+4)*2
((6+6)/2)+4
((2+6)+6)-4
((6-4)*2)+6
((6-2)*4)-6
((2*6)+4)-6
(6-(4/2))+6
462 2467 ((4+7)-6)*2
(6-(7/2))*4 7/2
((6*7)-2)/4
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(6/(4-2))+7
(7-2)*(6-4)
(4*6)-(2*7)
463 2468 ((8-6)*4)+2
((6*8)/4)-2
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(8/(4-2))+6
((4-2)*8)-6
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(2*6)-(8/4)
464 2469 9+(6-2)#4
9+(2+4)#6
9+(6-4)#2
((9-6)*4)-2
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(4-(6/2))+9
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(4*7)-(2*9)
468 2488 ((4+8)+8)/2
(8-(2+4))+8
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470 2499 (9-(2*4))+9
((9/9)+4)*2
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((5*5)-5)/2
((5+5)/2)+5
((5-2)*5)-5
((2*5)+5)-5
((2+5)-5)*5
((2*5)*5)/5
472 2556 2*5 m(6-5)
((5*6)/2)-5
(6-(5/5))*2
(5-(6/2))*5
(5*6)/(5-2)
473 2557 ((5/5)+2)+7
474 2558 ((2+5)+8)-5
((2+8)*5)/5
((2*5)-8)*5
((2*5)/5)+8
((5*8)/5)+2
475 2559 (9-(2+5))*5
((9-5)*5)/2
(2-(5/5))+9
5/(5-(9/2)) 9/2
476 2566 ((2+6)-6)*5
((5+6)-6)*2
((2*5)+6)-6
((2*5)*6)/6
477 2567 2*5 m(7-6)
((2+6)+7)-5
((7-5)*6)-2
((7-5)*2)+6
((2*6)+5)-7
6/(2-(7/5)) 7/5
478 2568 2+8 m(6-5)
((5-2)*6)-8
((6*8)+2)/5
(6-(8/2))*5
(5-(6/2))+8
(6/(5-2))+8
8/(2-(6/5)) 6/5
(5*8)/(6-2)
479 2569 ((2+5)+9)-6
((5+6)+9)/2
5/(2-(9/6))
480 2577 ((2+7)-7)*5
((5+7)-7)*2
((2*5)+7)-7
((2*5)*7)/7
(7-2)*(7-5)
481 2578 2*5 m(8-7)
((5+7)+8)/2
482 2579 9+(2+5)#7
9+(7-2)#5
9+(7-5)#2
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(9/(5-2))+7
483 2588 ((2+8)-8)*5
((5+8)-8)*2
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((2*5)+8)-8
((2*5)*8)/8
484 2589 2*5 m(9-8)
((9-5)/2)+8
(5-(8/2))+9
(8-(2+5))+9
485 2599 ((2+9)-9)*5
((5+9)-9)*2
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((2*5)*9)/9
486 2666 (6-(6/6))*2
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((6/6)+2)+7
(6-(6/2))+7
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((8-6)*6)-2
((6+6)+8)/2
((8-6)*2)+6
((2+6)+8)-6
((2+8)*6)/6
((2*6)/6)+8
((2*6)+6)-8
((6*6)/2)-8
489 2669 (2-(6/6))+9
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((6+7)+7)/2
(6-(7/7))*2
491 2678 2+8 m(7-6)
(7-2)*(8-6)
((6+7)-8)*2
492 2679 ((2+6)+9)-7
((9-7)*6)-2
((9-7)*2)+6
((2*6)+7)-9
((2*9)/6)+7
493 2688 (6-(8/2))+8
(2-(6/8))*8 6/8
(6-(8/8))*2
(8/(6-2))+8
494 2689 9+(2+6)#8
9+(8-2)#6
9+(8-6)#2
((6+8)-9)*2
((8*9)/6)-2
495 2699 (9-(2+6))+9
(6-(9/9))*2
496 2777 ((7/7)+2)+7
497 2778 ((2+7)+8)-7
((2+8)*7)/7
((2*7)/7)+8
((7*8)/7)+2
(7-(8/2))+7
498 2779 ((7+7)-9)*2
(2-(7/7))+9
(7-2)*(9-7)
499 2788 2+8 m(8-7)
((8/8)+2)+7
500 2789 ((2+7)+9)-8
((8*9)-2)/7
501 2799 9+(2+7)#9
9+(9-2)#7
9+(9-7)#2
((9/9)+2)+7
502 2888 ((2+8)+8)-8
((2+8)*8)/8
((2*8)/8)+8
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503 2889 2+8 m(9-8)
(2-(8/8))+9
504 2899 ((2+8)+9)-9
((2+8)*9)/9
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(2-(8/9))*9 8/9
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506 3333 (3*3)+(3/3)
507 3334 ((3*3)+4)-3
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(3-(3/3))*5
509 3336 ((3/3)+3)+6
510 3337 ((3+3)+7)-3
((3+7)*3)/3
((3*3)/3)+7
((3*7)/3)+3
511 3338 ((3+3)*3)-8
((3+3)/3)+8
(3-(3/3))+8
512 3339 ((3*9)+3)/3
((3/9)+3)*3 3/9
513 3344 ((4*4)-3)-3
(3*3)+(4/4)
514 3345 ((3+3)-4)*5
((5-3)*3)+4
((3*3)+5)-4
((3*4)+3)-5
((3/3)+4)+5
515 3346 ((3+4)+6)-3
((4+6)*3)/3
((3*6)/3)+4
(3-(3/6))*4 3/6
((3*4)/3)+6
(3-(4/3))*6 4/3
(3*4)-(6/3)
516 3347 3+7 m(4-3)
(4-(3/3))+7
517 3348 ((3+3)+8)-4
518 3349 ((9/3)+3)+4
519 3355 ((3+5)+5)-3
((5+5)*3)/3
(5-(5/3))*3 5/3
((3*5)/3)+5
(3*3)+(5/5)
520 3356 ((3*3)+6)-5
((3*6)-3)-5
((6/3)+3)+5
(5-(3/3))+6
521 3357 ((3*3)-7)*5
522 3358 (8-(3+3))*5
((8-3)*3)-5
((3*5)+3)-8
(5-3)*(8-3)
523 3359 ((3+3)+9)-5
((9-3)*5)/3
524 3366 (3*3)+(6/6)
525 3367 ((3+6)/3)+7
((3*3)+7)-6
526 3368 ((8-3)*6)/3
((3*8)+6)/3
(6-(8/3))*3 8/3
527 3369 ((3+9)/3)+6
9+(3+3)#6
9+(6-3)#3
(3-(6/3))+9
528 3377 (3*3)+(7/7)
529 3378 ((3*3)+8)-7
((3*7)-3)-8
530 3379 (7-(3+3))+9
((3*7)+9)/3
531 3388 (8-(3+3))+8
(3*3)+(8/8)
532 3389 ((9-3)*3)-8
((9-3)/3)+8
((3*3)+9)-8
533 3399 ((3*3)/9)+9
((9/3)/3)+9
(3*3)+(9/9)
534 3444
535 3445 ((4+4)+5)-3
(3-(4/4))*5
536 3446 4+6 m(4-3)
(4-(4/6))*3 4/6
((6-4)*3)+4
((6/3)+4)+4
((3*6)-4)-4
((4/4)+3)+6
((3*4)+4)-6
537 3447 ((3+4)+7)-4
((3+7)*4)/4
((3*4)/4)+7
((4*7)/4)+3
538 3448 ((3*8)/4)+4
(3-(4/4))+8
(3-(4/8))*4 4/8
(3*4)-(8/4)
539 3449 ((4*4)+3)-9
540 3455 5+5 m(4-3)
((3+4)-5)*5
((3+5)*5)/4
(4*5)/(5-3)
541 3456 ((3+5)+6)-4
((3*4)*5)/6
(4-(6/3))*5
542 3457 3+7 m(5-4)
((7-5)*3)+4
((5-3)*7)-4
((4+5)/3)+7
((3*4)+5)-7
((4*5)-3)-7
543 3458 ((3+4)+8)-5
((3+5)/4)+8
((8/4)+3)+5
(4/(5-3))+8
544 3459 (9-(3+4))*5
((9-4)*3)-5
((3*5)+4)-9
(5-3)*(9-4)
545 3466 ((4*6)+6)/3
546 3467 ((7-3)*4)-6
((6*7)/3)-4
(4-(7/3))*6 7/3
(4*7)-(3*6)
547 3468 ((8-6)*3)+4
((4+8)/3)+6
((3*4)/6)+8
(4-(6/3))+8
((3*4)+6)-8
(8-3)*(6-4)
548 3469 ((3+4)+9)-6
((9-4)*6)/3
((4*9)-6)/3
(4-(6/9))*3 6/9
549 3477 ((3*7)-4)-7
550 3478 (3-(7/4))*8 7/4
551 3479 9+(7-4)#3
9+(3+4)#7
9+(7-3)#4
((3+9)/4)+7
((9-7)*3)+4
((3*4)+7)-9
552 3488 ((8-3)*8)/4
553 3489 9+(8-(3+4))
9+(3-(8/4))
554 3499 ((9+9)/3)+4
(4-(9/3))+9
555 3555 ((5*5)+5)/3
(3-(5/5))*5
(5*5)-(3*5)
556 3556 ((3+5)-6)*5
((6-3)*5)-5
((5/5)+3)+6
557 3557 ((3+5)+7)-5
((3+7)*5)/5
((5*7)-5)/3
((3*5)/5)+7
((5*7)/5)+3
558 3558 (3-(5/5))+8
559 3559 ((5*9)/3)-5
(5-(9/3))*5
560 3566 ((3+6)+6)-5
(3-(6/6))*5
(5*6)/(6-3)
561 3567 3+7 m(6-5)
((3+6)-7)*5
((5+7)/3)+6
((3*7)-5)-6
(5-(6/3))+7
(6/(5-3))+7
562 3568 ((3+5)+8)-6
((5-3)*8)-6
(8/(5-3))+6
563 3569 ((3+9)*5)/6
((6+9)/3)+5
((3*5)*6)/9
564 3577 (3-(7/7))*5
565 3578 ((3+7)-8)*5
((3+7)/5)+8
((7+8)/3)+5
(8-3)*(7-5)
(5*8)/(7-3)
566 3579 ((3+5)+9)-7
567 3588 (3-(8/8))*5
568 3589 9+(8-3)#5
9+(8-5)#3
9+(3+5)#8
((3+8)-9)*5
((5-3)*9)-8
(5-(9/3))+8
((3*8)-5)-9
569 3599 (9-(3+5))+9
(3-(9/9))*5
570 3666 ((6+6)/3)+6
((6*6)-6)/3
((6/6)+3)+6
(6-(6/3))+6
571 3667 ((3+6)+7)-6
((3+7)*6)/6
((3*6)/6)+7
((6*7)/6)+3
572 3668 ((3*8)/6)+6
((6*8)/3)-6
(3-(8/6))*6 8/6
(3-(6/6))+8
(6/(6-3))+8
((6-3)*6)-8
573 3669
574 3677 3+7 m(7-6)
((7/7)+3)+6
575 3678 ((3+6)+8)-7
576 3679 ((7*9)-3)/6
(6-(9/3))+7
(9/(6-3))+7
577 3688 ((3*8)-6)-8
((8/8)+3)+6
(8-3)*(8-6)
578 3689 ((3+6)+9)-8
((3+9)/6)+8
((3*6)/9)+8
((6*9)/3)-8
579 3699 9+(3+6)#9
9+(9-3)#6
9+(9-6)#3
((9/9)+3)+6
580 3777 ((3+7)+7)-7
((3+7)*7)/7
((3*7)/7)+7
((7*7)/7)+3
581 3778 3+7 m(8-7)
((3*8)-7)-7
(3-(7/7))+8
582 3779
583 3788 ((3+7)+8)-8
((3+7)*8)/8
((3*8)/8)+7
((7*8)/8)+3
(8/(7-3))+8
584 3789 3+7 m(9-8)
(8-3)*(9-7)
585 3799 ((3+7)+9)-9
((3+7)*9)/9
((3*9)/9)+7
((7*9)/9)+3
586 3888 (3-(8/8))+8
587 3889 ((3+8)+8)-9
588 3899 ((3*9)-8)-9
(3-(9/9))+8
589 3999
590 4444
591 4445 ((4+4)*5)/4
((4/4)+4)+5
592 4446 ((4*6)/4)+4
((4+4)+6)-4
(4-(6/4))*4 6/4
((4+6)*4)/4
((4*4)/4)+6
593 4447 (4-(4/4))+7
594 4448 ((4+4)/4)+8
((8/4)+4)+4
595 4449 ((4*9)+4)/4
596 4455 ((4+5)+5)-4
((5+5)*4)/4
((4*5)/4)+5
597 4456 4+6 m(5-4)
((4+4)-6)*5
((4*5)-4)-6
(5-(4/4))+6
(4*5)/(6-4)
598 4457 ((4+4)+7)-5
599 4458 ((4*4)*5)/8
(4-(8/4))*5
600 4459
601 4466 ((6*6)+4)/4
602 4467 ((6-4)*7)-4
603 4468 ((4+4)+8)-6
((8-4)*4)-6
(4/(6-4))+8
604 4469 ((4*9)/6)+4
(4-(9/6))*4 9/6
(6-4)*(9-4)
605 4477
606 4478 ((4+8)/4)+7
((7*8)/4)-4
607 4479 ((4+4)+9)-7
608 4488 ((4*8)+8)/4
((4*4)/8)+8
(4-(8/4))+8
609 4489 9+(4+4)#8
9+(8-4)#4
((9-4)*8)/4
610 4499 (9-(4+4))+9
611 4555 5+5 m(5-4)
((4*5)-5)-5
((5/5)+4)+5
612 4556 ((5*6)/5)+4
((4+5)+6)-5
((4+6)*5)/5
((4*5)/5)+6
(5*6)-(4*5)
613 4557 ((4+5)-7)*5
((7-4)*5)-5
((5*7)+5)/4
(4-(5/5))+7
(4*5)/(7-5)
614 4558
615 4559 ((5*9)-5)/4
616 4566 4+6 m(6-5)
((6/6)+4)+5
617 4567 ((4+5)+7)-6
(5*6)/(7-4)
618 4568 ((4+6)-8)*5
((4+8)*5)/6
((4+6)/5)+8
(4*5)/(8-6)
619 4569 ((9-5)*4)-6
((4*6)-5)-9
((6*9)-4)/5
620 4577 ((5+7)/4)+7
((7-5)*7)-4
((7/7)+4)+5
621 4578 ((4+5)+8)-7
(5-(8/4))+7
(4/(7-5))+8
622 4579 ((4+7)-9)*5
(9-4)*(7-5)
(4*5)/(9-7)
623 4588 ((8/8)+4)+5
(5*8)/(8-4)
624 4589 ((4+5)+9)-8
625 4599 9+(9-4)#5
9+(4+5)#9
9+(9-5)#4
((9/9)+4)+5
626 4666 ((4+6)+6)-6
((4+6)*6)/6
((4*6)/6)+6
((6*6)/6)+4
627 4667 4+6 m(7-6)
((6+6)/4)+7
(4-(6/6))+7
(6/(6-4))+7
628 4668 ((6-4)*8)-6
((4*6)-6)-8
(6-(8/4))+6
(8/(6-4))+6
629 4669 ((6+9)*4)/6
630 4677 ((4+6)+7)-7
((4+6)*7)/7
((4*6)-7)-7
((4*7)/7)+6
((6*7)/7)+4
631 4678 4+6 m(8-7)
((8-6)*7)-4
((7+8)*4)/6
((7*8)+4)/6
(6/(7-4))+8
((7-4)*6)-8
((4*6)/8)+7
(6*7)-(4*8)
632 4679 ((7+9)/4)+6
633 4688 ((6*8)/8)+4
((6*8)-8)/4
((8+8)/4)+6
((4*8)/8)+6
((8*8)/4)-6
((8*8)-4)/6
((4+6)+8)-8
((4+8)/6)+8
(4/(8-6))+8
((4+6)*8)/8
634 4689 4+6 m(9-8)
((6-4)*9)-8
(9-4)*(8-6)
635 4699 ((4+6)+9)-9
((4+6)*9)/9
((4*9)/9)+6
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636 4777 (4-(7/7))+7
637 4778 ((4+7)+7)-8
638 4779 ((9-7)*7)-4
((7*7)-9)/4
(9/(7-4))+7
639 4788 (4-(8/8))+7
640 4789 ((4+7)+8)-9
(4/(9-7))+8
641 4799 ((4*7)-9)-9
(4-(9/9))+7
(9-4)*(9-7)
642 4888 (8/(8-4))+8
643 4889 ((8*9)/4)-8
644 4899
645 4999
646 5555 ((5+5)+5)-5
((5+5)*5)/5
((5*5)/5)+5
647 5556 5+5 m(6-5)
(5-(5/5))+6
648 5557 (5*7)-(5*5)
649 5558 ((5+5)-8)*5
((5+5)/5)+8
((8-5)*5)-5
650 5559 ((5*9)+5)/5
651 5566 ((5+5)+6)-6
((5+5)*6)/6
((5*6)/6)+5
652 5567 5+5 m(7-6)
((5+7)*5)/6
653 5568 (5*6)/(8-5)
(5*8)-(5*6)
654 5569 ((5+6)-9)*5
((9-6)*5)-5
((5*5)-6)-9
655 5577 ((5+5)+7)-7
((5+5)*7)/7
((5*7)/7)+5
656 5578 5+5 m(8-7)
((5*5)-7)-8
657 5579 ((5+9)*5)/7
(5*9)-(5*7)
658 5588 ((5+5)+8)-8
((5+5)*8)/8
((5*8)/8)+5
659 5589 5+5 m(9-8)
(5*8)/(9-5)
660 5599 ((5+5)+9)-9
((5+5)*9)/9
((5*9)/9)+5
661 5666 ((6+6)*5)/6
(5-(6/6))+6
662 5667 ((5+6)+6)-7
663 5668
664 5669 (5*6)/(9-6)
665 5677 (5-(7/7))+6
(6/(7-5))+7
666 5678 ((6*7)+8)/5
((7*8)-6)/5
(8/(7-5))+6
((7-5)*8)-6
((6+8)*5)/7
((5+7)/6)+8
((5+6)+7)-8
667 5679 ((6+9)/5)+7
668 5688 ((8-5)*6)-8
(5-(8/8))+6
(6/(8-5))+8
669 5689 ((5+6)+8)-9
670 5699 (5-(9/9))+6
671 5777 ((7+7)*5)/7
672 5778 ((7+8)/5)+7
673 5779 ((5+7)+7)-9
674 5788
675 5789 ((7+9)*5)/8
((5+9)/7)+8
((7-5)*9)-8
(9/(8-5))+7
676 5799
677 5888 ((8+8)*5)/8
678 5889 (8/(9-5))+8
679 5899
680 5999 ((9+9)*5)/9
681 6666
682 6667
683 6668 ((6+6)+6)-8
((6+6)/6)+8
684 6669 ((6*9)+6)/6
((6*6)/9)+6
685 6677
686 6678 (6/(8-6))+7
687 6679 ((6+6)+7)-9
688 6688 ((8-6)*8)-6
(8/(8-6))+6
689 6689 ((9-6)*6)-8
(6/(9-6))+8
690 6699 ((6+9)*6)/9
691 6777
692 6778
693 6779 (6/(9-7))+7
694 6788 ((6+8)/7)+8
((8*8)+6)/7
695 6789 ((7+8)*6)/9
((9-7)*8)-6
(8/(9-7))+6
696 6799 ((9+9)/6)+7
(9/(9-6))+7
697 6888
698 6889 ((8-6)*9)-8
(8*8)-(6*9)
699 6899
700 6999
701 7777
702 7778 ((7+7)/7)+8
703 7779 ((7*9)+7)/7
704 7788
705 7789
706 7799
707 7888
708 7889 ((7+9)/8)+8
709 7899 ((9-7)*9)-8
710 7999
711 8888 ((8+8)/8)+8
712 8889 ((8*9)+8)/8
713 8899
714 8999 ((9+9)/9)+8
715 9999 ((9*9)+9)/9

(間違い等あればぜひご指摘下さい)

 

(全体の目次はこちら

 

 

 

 

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コメント

1124がかけていますね

ご指摘をありがとうございます。
全く気がつきませんでした。

先ほど[1124]分を追加し更新しておきました。
今後とも気がついたこと等あれば
ご指摘をよろしくお願いします。

0235の答えに2+3+5 p0
2222の答えに((2*2)*2)+2
がありません

0446の答えの一つは「4+6 0m4」であるはずなのに「4+6 0m6」になっています

ご指摘をほんとうにありがとうございます。
早速修正しておきました。

これでは「完全版」なんて
とても言えたレベルではありませんでしたね。
ほんとうにお恥ずかしい。

でも、恥ずかしくとも
テーブルの作成者として、
テーブルがより完璧になることほど
うれしいことはありません。

もちろん、
ここまで丁寧に見ていただけることも、
思ってもいなかった喜びでした。
今後共どうぞよろしくお願いします。

1234の((1/2)-3)*4
2458の4/((8/5)-2)
2466の((4/2)-6)-6
3446の((4/6)-4)*3
4446の((6/4)-4)*4
いずれも-10になってしまいます。
(3-(1/2))*4
4/(2-(8/5))
(6-(4/2))+6
(4-(4/6))*3
(4-(6/4))*4
がそれぞれ正解です

ご指摘をありがとうございます。
早速修正しておきました。

0125 2/(1/5) p0 & 5/(1/2) p0ともに2*5 p0, m1 : m(1p0)と同化可能
0245 (5/2)*4 p0 & (4/2)*5 p0 & 4/(2/5) p0 & 5/(2/4) p0ともに4*5/2 p0と同化可能
0356 (5/3)*6 p0 & 6/3*5 p0 & 5/(3/6) p0 & 6/(3/5) p0ともに6*5/3 p0と同化可能
0458 (5/4)*8 p0 & 8/4*5 p0 & 5/(4/8) p0 & 8/(4/5) p0ともに5*8/4 p0と同化可能
1125 ((1+2)-1)*5 & ((1+5)-1)*2 &((2*5)+1)-1ともに2*5 p(1-1)とまとめられる
1229 ((1+9)*2)/2 & ((2*9)/2)+1ともに1+9 m2/2とまとめられる
1244 ((2+4)/1)+4は2+4+4 m1と同化可能
1339 ((1+9)*3)/3 & ((3*9)/3)+1ともに1+9 m3/3とまとめられる
1368 (6/3)+(8m1)は6/3+8 m1と同化可能
1449 ((1+9)*4)/4 & ((4*9)/4)+1ともに1+9 m4/4とまとめられる
1559 ((1+9)*5)/5 & ((5*9)/5)+1ともに1+9 m5/5とまとめられる
1669 ((1+9)*6)/6 & ((6*9)/6)+1ともに1+9 m6/6とまとめられる
1779 ((1+9)*7)/7 & ((7*9)/7)+1ともに1+9 m7/7とまとめられる
1889 ((1+9)*8)/8 & ((8*9)/8)+1ともに1+9 m8/8とまとめられる
1999 ((1+9)*9)/9 & ((9*9)/9)+1ともに1+9 m9/9とまとめられる
2225 ((2+2)-2)*5 & ((2*5)+2)-2 & ((2+5)-2)*2ともに2*5 p(2-2)とまとめられる
2228 ((2*8)/2)+2 & ((2+8)*2)/2 & ((2*2)/2)+8ともに2+8 m2/2とまとめられる
2237 ((3+7)*2)/2 & ((2*3)/2)+7 & ((2*7)/2)+3ともに3+7 m2/2とまとめられる
2246 ((4+6)*2)/2 & ((2*6)/2)+4 & ((2*4)/2)+6ともに4+6 m2/2とまとめられる
2249 ((4/2)/2)+9は9+(2*2)#4と同化可能
2255 ((5+5)*2)/2 & ((2*5)/2)+5ともに5+5 m2/2とまとめられる
2335 ((3+5)-3)*2 & ((2*5)+3)-3 & ((2+3)-3)*5ともに2*5 p(3-3)とまとめられる
2338 ((3*8)/3)+2 & ((2+8)*3)/3 & ((2*3)/3)+8ともに2+8 m3/3とまとめられる
2369 ((2*3)/6)+9 & ((6/2)/3)+9ともに9+(2*3)#6とまとめられる
2445 ((4+5)-4)*2 & ((2*5)+4)-4 & ((2+4)-4)*5ともに2*5 p(4-4)とまとめられる
2448 ((4*8)/4)+2 & ((2+8)*4)/4 & ((2*4)/4)+8ともに2+8 m4/4とまとめられる
2489 ((2*4)/8)+9 & ((8/2)/4)+9ともに9+(2*4)#8とまとめられる
2555 ((5+5)-5)*2 & ((2*5)+5)-5 & ((2+5)-5)*5ともに2*5 p(5-5)とまとめられる
2556 (2*5)/(6-5)は2*5 m(6-5)と同化可能
2558 ((2+8)*5)/5 & ((2*5)/5)+8 & ((5*8)/5)+2ともに2+8 m5/5とまとめられる
2566 ((2+6)-6)*5 & ((5+6)-6)*2 & ((2*5)+6)-6ともに2*5 p(6-6)とまとめられる
2577 ((2+7)-7)*5 & ((5+7)-7)*2 & ((2*5)+7)-7ともに2*5 p(7-7)とまとめられる
2588 ((2+8)-8)*5 & ((5+8)-8)*2 & ((2*5)+8)-8ともに2*5 p(8-8)とまとめられる
2599 ((2+9)-9)*5 & ((5+9)-9)*2 & ((2*5)+9)-9ともに2*5 p(9-9)とまとめられる
2668 ((6*8)/6)+2 & ((2+8)*6)/6 & ((2*6)/6)+8ともに2+8 m6/6とまとめられる
2778 ((2+8)*7)/7 & ((2*7)/7)+8 & ((7*8)/7)+2ともに2+8 m7/7とまとめられる
2888 ((2+8)*8)/8 & ((2*8)/8)+8 & ((8*8)/8)+2ともに2+8 m8/8とまとめられる
2899 ((2+8)*9)/9 & ((2*9)/9)+8 & ((8*9)/9)+2ともに2+8 m9/9とまとめられる
3337 ((3+7)*3)/3 & ((3*3)/3)+7 & ((3*7)/3)+3ともに3+7 m3/3とまとめられる
3346 ((4+6)*3)/3 & ((3*6)/3)+4 & ((3*4)/3)+6ともに4+6 m3/3とまとめられる
3355 ((5+5)*3)/3 & ((3*5)/3)+5ともに5+5 m3/3とまとめられる
3399 ((3*3)/9)+9 & ((9/3)/3)+9ともに9+(3*3)#9とまとめられる
3447 ((3+7)*4)/4 & ((3*4)/4)+7 & ((4*7)/4)+3ともに3+7 m4/4とまとめられる
3557 ((3+7)*5)/5 & ((3*5)/5)+7 & ((5*7)/5)+3ともに3+7 m5/5とまとめられる
3667 ((3+7)*6)/6 & ((3*6)/6)+7 & ((6*7)/6)+3ともに3+7 m6/6とまとめられる
3777 ((3+7)*7)/7 & ((3*7)/7)+7 & ((7*7)/7)+3ともに3+7 m7/7とまとめられる
3788 ((3+7)*8)/8 & ((3*8)/8)+7 & ((7*8)/8)+3ともに3+7 m8/8とまとめられる
3799 ((3+7)*9)/9 & ((3*9)/9)+7 & ((7*9)/9)+3ともに3+7 m9/9とまとめられる
4446 ((4*6)/4)+4 & ((4+6)*4)/4 & ((4*4)/4)+6ともに4+6 m4/4とまとめられる
4455 ((5+5)*4)/4 & ((4*5)/4)+5ともに5+5 m4/4とまとめられる
4556 ((5*6)/5)+4 & ((4+6)*5)/5 & ((4*5)/5)+6ともに4+6 m5/5とまとめられる
4666 ((4+6)*6)/6 & ((4*6)/6)+6 & ((6*6)/6)+4ともに4+6 m6/6とまとめられる
4677 ((4+6)*7)/7 & ((4*7)/7)+6 & ((6*7)/7)+4ともに4+6 m7/7とまとめられる
4688 ((6*8)/8)+4 & ((4*8)/8)+6 & ((4+6)*8)/8ともに4+6 m8/8とまとめられる
4699 ((4+6)*9)/9 & ((4*9)/9)+6 & ((6*9)/9)+4ともに4+6 m9/9とまとめられる
5555 ((5+5)*5)/5 & ((5*5)/5)+5ともに5+5 m5/5とまとめられる
5566 ((5+5)*6)/6 & ((5*6)/6)+5ともに5+5 m6/6とまとめられる
5577 ((5+5)*7)/7 & ((5*7)/7)+5ともに5+5 m7/7とまとめられる
5588 ((5+5)*8)/8 & ((5*8)/8)+5ともに5+5 m8/8とまとめられる
5599 ((5+5)*9)/9 & ((5*9)/9)+5ともに5+5 m9/9とまとめられる
と思いますがいかがでしょうか?
あと1468 (1+4)*(6-8)=-10 → (1+4)*(8-6)=10

詳細な検証とご指摘、ほんとうにありがとうございます。

今回の一覧表は、
友人との会話の中にウン十年(?)ぶりに
「3478」や「1199」の思い出話が登場したことがきっかけで、
エクセルのマクロで遊び始めたことが、
その種となりました。

ベタな解は簡単に求められるものの、
解一覧を作ってみると思ったようなものにならない。

そこで、VBAに手を出して式の整理を始めてみました。
大きなステップは次の4段階。

(1) 10になる解をベタでみつける。
(2) 式を整理し完全な同一式を削除する。
(3) 特殊表記を導入しさらに解をまとめる。
(4) テーブルを作成しWeb用htmlを作る。

この流れのどこで間違いや抜けが発生したのかを
ご指摘いただくたびに見直していますが、
時間をみつけて継ぎ足し継ぎ足し作業をしたせいか、
改めて見返してみると初歩的なミスが散見され
情けなくなります。

式が欠落していたのは(2)または(4)、
-10の式になってしまっているのは(2)、
にそれぞれ原因がありました。
(0m4が0m6という手打ちしたような
 typoもどきだけは原因が不明)

さて、今回のご指摘ですが、
以下の4点のみ修正、適用させていただきました。

1244 ((2+4)/1)+4は2+4+4 m1と同化可能
1368 (6/3)+(8m1)は6/3+8 m1と同化可能
1468 (1+4)*(6-8)=-10 → (1+4)*(8-6)=10
2556 (2*5)/(6-5)は2*5 m(6-5)と同化可能

今回私が採用した「整理のロジック」は、
数学的な同一式をまとめることが目的ではなく、
実際に問題を解いた人が
「そりゃ、同じ答えでしょ」と思うものをまとめたい、に
目的を置いています。

もちろん、「なにを同じと思うか」に
ちゃんとした定義はないので、
本文の中に書いた、
「数学的ではなく、感覚的な分類に近いものではあるが」
は、その苦しさの表れと言うか言い訳でもあるのですが、
やはり、
たとえば[1559]の

((1+9)*5)/5 と ((5*9)/5)+1

は、[1+9 m5/5]とまとめてしまわずに、
別解として独立させておきたい、と思います。

細かい検証、ほんとうに感謝しております。
今後共どうぞよろしくお願いします。

ブログ上でテンパズルを論じている仲間としてコメントします。
私のテンパズルの前提条件は整数とならない分数を無効としています。
これを除けば、こちらのテンパズルと同じ数式なので、私のテンパズル数式に間違いは無かったと一安心しています。整理のロジックもほぼ同じで、こちらも一安心です。
私のブログ
 「テンパズル攻略法」:http://four-numbers.at.webry.info/
で論じているのは、上記のテンパズル数式を頭を使って如何にして早く、抜けなく求めるかの方法です。まだまだ見直し中です。一度ご覧になって下さい。コメントをお待ちしております。

ボコウォーカさん、

コメントをありがとうございます。
ホームページも拝見しました。
すごい力作ですね。びっくりしました。

ボコウォーカさんが、
「コア数式」と名付けている部分は、
私が「主式」と「副式」で整理したかったものと
意図は同じと思っています。

数学的には同一ではないものの、
「そりゃ、同じでしょ」と言われる
解のグループをどう整理するか。
いろいろ工夫のしどころです。

>私のテンパズルの前提条件は整数とならない分数を無効としています。
パズルは「ルールの下で」の世界ですので、
そういうルールの設定ももちろんあると思います。

ただ、わたし自身は、

【10puzzle 「おもしろい問題」って?】
http://hama-1987.cocolog-nifty.com/blog/2013/12/10puzzle-0227.html

に書いた通り、解ける解けないよりも
「解けたときにおもしろいと思える問題」を
探すことから入ったせいか、
「1158」「1199」「1337」「3478」といった
私にとっては主役級の問題たちが
参考扱いになるのはちょっと寂しいかな、
と思っていますので、
四則のみさえ守ってもらえれば、
非整数については一切制限なし、のルールで考えています。

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