民主的選挙は不可能？

（全体の目次はこちら）

民主的選挙は不可能？

- 投票方式の矛盾と全員当選！ -

一票の格差が違憲であるとの判決が続いている。
一方で、選挙無効の請求については棄却が続いているので、
先日の朝日新聞にはこんな川柳が載っていた。
「違憲でもやったが勝ちという裁き」

選挙制度の話になると、定員や、小選挙区や比例代表によるメリット、デメリットなど、
おきまりの型にはまった狭い議論になりがちだが、
そもそも民主的に選ぶ、とはどういうことなのだろう。

高橋昌一郎著「理性の限界」(講談社現代新書) は、
これ以上はないほどの、シンプルなモデルを使って、
さまざまな選択方式がもつ矛盾をわかりやすく解説している。

本は「シンポジウムにおける議論」という形を借りた読み物となっているが、
ここでは、ロジック(論理)だけに集中するため、
一部、さらなる記号化を進めながら内容を紹介したい。

最初に簡単な準備を。
選択肢の優先順位を「選好順序」と呼ぶ。
「ＸをＹより好む」は「Ｘ＞Ｙ」と表記する。これだけ。

以下、説明のため、選好は「好き」「嫌い」という言葉で表現することにする。
ＡがＢより好き、または　ＢがＡより嫌い、を「Ａ＞Ｂ」と表している。

（１）　「勝ち抜き決選投票方式」

a1. 　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
a2. 　Ｂ＞Ｃ＞Ａ
a3. 　Ｃ＞Ａ＞Ｂ

の選好順位を持つ三人がいたとする。
本では、旅行に行きたい場所を例として挙げていた。
さて、この三人が実際にどこに旅行に行くかを決めるときのことを考えてみよう。

「ＡとＢのどちらを選ぶ？」と投票すると２対１でＡが選ばれる。
「では、ＡとＣではどちらを選ぶ？」と投票すると２対１でＣが選ばれる。

Ａ＞ＢでＣ＞Ａなので、この結果を順に並べると　Ｃ＞Ａ＞Ｂ　となる。（＊１）

ところが同じ集団に対して、質問の順番を変えて

「ＡとＣのどちらを選ぶ？」と投票すると２対１でＣが選ばれる。
「では、ＣとＢではどちらを選ぶ？」と投票すると２対１でＢが選ばれる。

Ｃ＞ＡでＢ＞Ｃなので、この結果を順に並べると　Ｂ＞Ｃ＞Ａ　となる。（＊２）

（＊２）のＢ＞Ｃ＞Ａ　と　（＊１）のＣ＞Ａ＞Ｂ　とを見ると、

　　　　Ｂ＞Ｃ＞Ａ＞Ｂ

と不思議なことになる。
　
Ｂは、
ある質問（＊２）では「最も好きなもの」として選ばれるが、
ある質問（＊１）では「最も嫌いなもの」として選ばれることになる。

このような集団では、
「２つの選択肢の勝者」と「残りの選択肢」を勝ち抜き投票で決めると
「残りの選択肢」が必ず勝つことになる。

Ｘ＞Ｙ、Ｙ＞Ｚならば、Ｘ＞Ｚという性質を「選好の推移律」と言うが、
個人において成立している選好の推移律が、集団においては成立していない。
この事例は、１７８５年フランスの数学者コンドルセによって初めて示されたので、
「コンドルセのパラドックス」と呼ばれている。

勝ち抜き投票という選択方式にはこのような問題があるが、
実は、複数の選択肢から単数を選択して投票する「単記投票方式」も、
必ずしも民主的な投票方式でないことがわかっている。
コンドルセと同時代のフランスの数学者ボルダによって最初に指摘された。

（２）　「単記投票方式」
以下のような７人の集団を考える。

b1. 　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
b2. 　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
b3. 　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
b4. 　Ｂ＞Ｃ＞Ａ
b5. 　Ｂ＞Ｃ＞Ａ
b6. 　Ｃ＞Ｂ＞Ａ
b7. 　Ｃ＞Ｂ＞Ａ

この集団が「最も好きなもの」を単記投票すると
Ａ３票、Ｂ２票、Ｃ２票となりＡに決定される。

ところが同じ集団で、「最も嫌いな(好きじゃない)もの」を単記投票すると
Ａ４票、Ｂ０票、Ｃ３票となりＡに決定される。

「最も好きなもの」を選んでも、「最も嫌いな(好きじゃない)もの」を選んでもＡが選ばれてしまう。

「３票で当選(選ばれるの)はおかしい？」
「選ばれるなら最低でも、過半数は取らなきゃ」

ということで、一回きりの単純な多数決の欠点を回避するために、
単記投票第一位の得票数が過半数に満たない場合は、上位二者の決選投票を行うという
「上位二者決選投票方式」が考案された。
国際オリンピック委員会が用いている方式だ。

ところが、この方式でも必ずしも矛盾を回避できない。

（３）　「上位二者決選投票方式」

c1. 　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
c2. 　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
c3. 　Ａ＞Ｂ＞Ｃ
c4. 　Ｂ＞Ｃ＞Ａ
c5. 　Ｂ＞Ｃ＞Ａ
c6. 　Ｂ＞Ｃ＞Ａ
c7. 　Ｃ＞Ａ＞Ｂ

「最も好きなもの」を投票するとＡ３票、Ｂ３票、Ｃ１票となり、
どれも過半数を取れない。よって、上位二者による決選投票を行う。
すると、Ａ４票、Ｂ３票という結果となりＡが過半数を占めることになる。
というわけで、決選投票過半数で「最も好きなもの」としてＡが選ばれる。

一方「最も嫌いな(好きじゃない)もの」を投票するとＡ３票、Ｂ１票、Ｃ３票となり、
どれも過半数を取れない。よって、上位二者による決選投票を行う。
すると、Ａ４票、Ｃ３票という結果となりＡが過半数を占めることになる。
というわけで、決選投票過半数で「最も嫌いな(好きじゃない)もの」としてＡが選ばれる。

またまた
「最も好きなもの」を選んでも、「最も嫌いな(好きじゃない)もの」を選んでもＡが選ばれてしまう。

「勝ち抜き決選投票方式」にも「単記投票方式」にも「上位二者決選投票方式」にも矛盾がある。
それを回避するために生み出された「複数記名方式」と「順位評点方式」という方法にも問題がある。

（４）「全員当選モデル」

有権者５５名が、ＡからＥの５名の立候補者に対して、
一位から五位の選好順位を記入して投票した結果、次のようになったとしよう。

(d1)　Ａ＞Ｄ＞Ｅ＞Ｃ＞Ｂ　１８名
(d2)　Ｂ＞Ｅ＞Ｄ＞Ｃ＞Ａ　１２名　
(d3)　Ｃ＞Ｂ＞Ｅ＞Ｄ＞Ａ　１０名　
(d4)　Ｄ＞Ｃ＞Ｅ＞Ｂ＞Ａ　　９名
(d5)　Ｅ＞Ｂ＞Ｄ＞Ｃ＞Ａ　　４名
(d6)　Ｅ＞Ｃ＞Ｄ＞Ｂ＞Ａ　　２名

Ａ候補　一位票を最も多く得たＡが当選すべき。（単記投票方式）

Ｂ候補　１８名では過半数を満たしていないので、
　　　　　上位二者（Ａ１８票、Ｂ１２票）で決選投票すべき。
　　　　　決選投票すると（Ａ１８票、Ｂ３７票）でＢが当選。
　　　　　（上位二者決選投票方式）

Ｃ候補　決選投票するなら、一位票の最も少ない立候補者を除外して
　　　　　再投票を繰り返す「勝ち抜き投票」を行なってもらいたい。
　　　　　２回目：Ｅを除外して、Ａ１８票、Ｂ１６票、Ｃ１２票、Ｄ９票
　　　　　３回目：Ｄを除外して、Ａ１８票、Ｂ１６票、Ｃ２１票
　　　　　４回目：Ｂを除外して、Ａ１８票、Ｃ３７票で、Ｃが当選。
　　　　　（勝ち抜き決選投票方式）

Ｄ候補　有権者が並べた全体順位を重視。
　　　　　１位５点、２位４点、３位３点、４位２点、５位１点で集計。
　　　　　Ａ１２７点、Ｂ１５６点、Ｃ１６２点、Ｄ１９１点、Ｅ１８９点
　　　　　となり、Ｄが当選。
　　　　　（順位評点方式）

Ｅ候補　全体順位よりも一対一で比較。
　　　　　Ａ対Ｅ　は　１８対３７
　　　　　Ｂ対Ｅ　は　２２対３３
　　　　　Ｃ対Ｅ　は　１９対３６
　　　　　Ｄ対Ｅ　は　２７対２８
　　　　　となり、全組合せでＥの票が多いのでＥが当選。
　　　　　（総当り投票方式）

つまり、全員が当選を主張できる。

この「全員当選モデル」は１９９１年テンプル大学の数学者ジョン・パウロスが考案したもの。

ここで、当選者のタイプをちょっとみてみよう。

単記投票方式で選ばれるＡ候補
　１８名から一位支持を受ける一方、残りの３７名からは最低評価。
上位二者決選投票で選ばれるＢ候補も
　２６名が１位か２位なのに、残り２９名は４位か５位の下位評価。
勝ち抜き決選投票方式で選ばれるＣ候補も
　どちらかと言えば上位か下位に分かれている。
味方もいるが敵も多い「両極端タイプ」

総当り投票方式で選ばれるＥ候補
　１位評価は６名しかいないが、４位以下の評価なし。３７名が中間の３位。
順位評点方式で選ばれるＤ候補も
　２，３，４位の中間層に集中。
これらの候補は極端に高い評価も低い評価もない、無難な「八方美人タイプ」

どのような投票方式で選ぶかと定める時点で、すでに当選者のタイプも暗黙のうちに決まっているのだ。

実社会では、どのようなタイプの当選者を求めるかによって、
どの投票方式が適しているかが、経験的に定められている。

実社会の多くの選挙で「単記投票方式」や「上位二者決選投票方式」が
用いられているのは、当選者に強いリーダーシップが求められていることが理由だと考えられる。

以上、さまざまな投票方式の問題点を説明したあと、
１９５１年にコロンビア大学の数理経済学者ケネス・アロウが証明した「不可能性定理」
の話に繋がっていく。
　
「不可能性定理」とは何か。

なんと、「完全に民主的な社会的決定方式は存在しない」が証明されているらしい。
アロウは、この業績をさらに数学的に厳密に構成して「一般均衡理論」の
定式化を導き、１９７２年にノーベル経済学賞を受賞している。

アロウが厳密に定義した意味での完全民主主義を実現することは論理的に不可能。
定義域が何十万人であっても、何百万人であっても、パロスの全員当選モデルのように、
社会的選択関数を一意に定められない事態が起こりうることを証明できる、のだとか。

さらに衝撃的事実が。

それは、１９７３年ミシガン大学の哲学者アラン・ギバードと
ウィスコンシン大学の政治学者マーク・サタースウェイトによって独立に発見された。
独裁者の存在を認めるような投票方式でないかぎり、戦略的操作が可能になるというもので、
「ギバード・サタースウェイトの定理」と呼ばれている。

いかなる民主的な投票方式においても、必ず戦略的操作が可能。
もし戦略的操作ができないような投票方式があるとすれば、
そこには必ず、すべての決定権が一人の投票者に委ねられるという意味での独裁者が存在する。
要するに、完全に公平な投票方式は存在しない。

数学的に完璧にする途はなくても、戦略的操作を完全には排除できなくても、
実社会において、我々はより良いなんらかの選挙制度をつくり出し、選択して行かなければならない。

本には、こんなジョークも出ていたけれど．．．
「独裁政治では、一人が決める。貴族政治では、数名が決める。民主政治では、誰も決められない！」

（全体の目次はこちら）